Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Giới hạn 0 của dãy số

- Dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu (left| {{u_n}} right|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = 0) hay ({u_n} to 0)khi (n to + infty ) hay (lim {u_n} = 0).

* Chú ý:

+ (lim frac{1}{{{n^k}}} = 0,k in mathbb{Z}.)

+ Nếu (left| q right| < 1) thì (lim {q^n} = 0)

b, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n} - a} right) = 0), kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) hay ({u_n} to a) khi (n to + infty ).

* Chú ý: Nếu ({u_n} = c)(c là hằng số) thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = c)

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a,mathop {lim }limits_{n to + infty } {v_n} = b) và c là hằng số thì

• (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n} pm {v_n}) = a pm b)
• (begin{array}{l}mathop {lim }limits_{n to + infty } (c.{u_n}) = c.amathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = a.bend{array})
• (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = frac{a}{b}left( {b ne 0} right))
• Nếu ({u_n} ge 0) thì với mọi n và (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) thì (a ge 0) và (mathop {lim }limits_{n to + infty } sqrt {{u_n}} = sqrt a )

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có công bội q thỏa mãn (left| q right| < 1) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

(S = frac{{{u_1}}}{{1 - q}}left( {left| q right| < 1} right))

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số (left( {{u_n}} right))được gọi là có giới hạn ( + infty )khi (n to + infty )nếu ({u_n}) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty ) hay ({u_n} to + infty ) khi (n to + infty ).

- Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là có giới hạn ( - infty )khi (n to + infty ) nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } left( { - {u_n}} right) = + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = - infty ) hay ({u_n} to - infty ) khi (n to + infty ).

* Chú ý:

• (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty Leftrightarrow mathop {lim }limits_{n to + infty } ( - {u_n}) = - infty )
• Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty )(hoặc(mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = - infty )) thì (lim frac{1}{{{u_n}}} = 0).
• Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = 0,{u_n} > 0)và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = 0,forall n)thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + infty ).

*Nhận xét:

(begin{array}{l}a,lim {n^k} = + infty ,k in mathbb{N},k ge 1.b,lim {q^n} = + infty ;q in mathbb{R},q > 1.end{array})