Định lý Viet ( Hệ thức Viet)
Định lý Viet là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét.
Định lý Viet thuận
Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0(a neq 0)$ có hai nghiệm
$mathrm{x}_1, mathrm{x}_2$ (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm $S=-frac{b}{a}$ và tích các nghiệm $P=frac{c}{a}$.
Định lý Viet đảo
Nếu có 2 số $x_1, x_2$ thoả mãn $left{begin{array}{l}x_1+x_2=S x_1, x_2=Pend{array}right.$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: $mathrm{t}^2-mathrm{st}+mathrm{p}=0$
(Điều kiện $exists 2$ số $x_1, x_2$ là $S^2-4 mathrm{P} geq 0$ )
Chú ý:
* Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
Các dạng bài tập hệ thức Viet
Dạng 1. Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Viet.
Bước 3: Sử dụng hệ thức Viet, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Dạng 2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm $x_0$ của phương trình
Bước 1: Thay giá trị $x_0$ vào phương trình để tìm tham số.
Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
Bước 3: Kết luận.
Dạng 3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Viet.
Bước 3: Tính m theo S và P.
Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.
Bước 5: Kết luận.
Dạng 4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0(a neq 0)$.
+) Nếu $mathrm{a}+mathrm{b}+mathrm{c}=0$ thì phương trình có nghiệm $mathrm{x}_1=1$ và $mathrm{x}_2=frac{c}{a}$.
+) Nếu $mathrm{a}-mathrm{b}+mathrm{c}=0$ thì phương trình có nghiệm $mathrm{x}_1=-1$ và $mathrm{x}_2=-frac{c}{a}$.
Dạng 5. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u+v=S$ và tích $u cdot v=P$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình $x^2-S x+P=0$.
Điều kiện để có u và v là $mathrm{S}^2-4 mathrm{P} geq 0$.
Xem thêm:
Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi
Định lý cosin
Kết luận
Trên đây là tổng hợp lí thuyết về định lí Viet trong chương trình Toán lớp 9. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng để giải được các bài toán liên quan.
